Al compás de los números primos

La biblioteca es ilimitada y periódica. Si un eterno viajero la atravesara en cualquier dirección, comprobaría al cabo de los siglos que los mismos volúmenes se repiten en el mismo desorden (que, repetido, sería un orden: el Orden). Mi soledad se alegra con esa elegante esperanza.

J. L Borges, La biblioteca de Babel

En la geometría de Euclides ocupan un lugar muy destacado las construcciones con regla y compás, algunos de cuyos problemas tardaron siglos en encontrar respuesta. Y, en muchas ocasiones, las respuestas fueron negativas, por ejemplo:

Pregunta: -¿Se puede dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales empleando únicamente regla y compás?

Respuesta (siglo XIX): -No.

Pregunta: -¿Se puede construir un cuadrado de área igual a un círculo dado empleando únicamente regla y compás?

Respuesta (siglo XIX): — No.

A esta altura se podría creer que los matemáticos encontramos cierto placer en refutar leyendas, especialmente si para eso hay que tomarse un gran trabajo; sin embargo, otras preguntas tienen respuestas mucho más sencillas y positivas (el famoso “sí fácil”). Una de ellas también está asociada al nombre de Euclides aunque, en principio, poco parece tener que ver con la geometría:

Pregunta: -¿Hay infinitos números primos?

Respuesta (Euclides, siglo III a.C.): — Sí.

Los primos, conviene recordarlo, son aquellos números mayores que 1 que solo son divisibles por sí mismos y la unidad. Es fácil reconocer los primeros de la lista: 2, 3, 5, 7, 11, etc. Pero de allí a probar que son infinitos hay un gran paso conceptual y, hasta donde se sabe, fue Euclides el primero en darlo. Desde entonces se han dado a conocer muchas (aunque no infinitas) demostraciones diferentes, entre ellas una de 1955 que recurre nada menos que a la topología. El objetivo de este artículo es reinterpretar ligeramente esta demostración topológica a fin de recuperar el espíritu inicial de los antiguos griegos… solo que, en este caso, no emplearemos el austero compás de los geómetras sino aquel otro que sirve para escribir la música. En otras palabras, se tratará de una demostración a puro ritmo.

Comencemos por una idea sencilla, la de pulso, que es la unidad básica para medir el tiempo. Para nuestros fines, conviene pensar en un tiempo que continúa infinitamente, de manera que la sucesión de pulsos se corresponderá con el conjunto de los números naturales, empezando (hay quienes dicen: de modo antinatural) en el cero: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Entonces nuestro conjunto de pulsos va a tener el siguiente aspecto:

ta — ta — ta — ta — ta — ta — ta — …

Pero esto no parece más que una manera -un tanto monótona- de pasar literalmente el tiempo, así que vamos a poner el acento en ciertos tiempos específicos. Y esto es otra vez literal: concretamente, vamos a acentuar algunos tiempos, de manera regular. Por ejemplo, uno de cada tres tiempos:

Tá — ta — ta — Tá — ta — ta — Tá — ta — ta — …

El resultado no es otra cosa que un vals un tanto particular, pues tendría duración infinita. No hay impedimentos teóricos para tal invento, aunque prolongaría las fiestas de casamiento de manera insoportable.

En música existen en realidad distintas clases e intensidades de acentos y hasta anti-acentos; en nuestro caso, mucho más simple, solo nos ocuparemos de distinguir entre tiempo acentuado (fuerte) y tiempo sin acentuar (débil), que podemos escribir respectivamente como 1 y 0. De esta forma, el anterior vals infinito se lee

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 …

Conviene mostrar también un ejemplo binario, para complacer a los amantes del dos por cuatro (que en realidad se escribe en compás de 4/4, aunque eso no interesa mucho aquí). En efecto, una secuencia alternada de tiempos fuertes y débiles da lugar a la siguiente sucesión de unos y ceros, un tango en el que “ni el tiro del final te va a salir”, simplemente a causa de la inexistencia de dicho final:

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 …

Por supuesto, los distintos números naturales generan una gran variedad de compases irregulares (y… ¡ríete del zorcico!), por ejemplo:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 … (de 5)

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 … (de 7)

En rigor, los compases irregulares en la música se indican muchas veces como combinación de compases binarios y ternarios; por ejemplo, la forma 7 = 3 + 2 + 2 puede encontrarse en Money, de Pink Floyd:

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 …

Esta última observación nos lleva a pensar en una estructura más general, las secuencias periódicas, compuestas por un patrón que se repite al modo de un estribillo rítmico incesante. En el caso anterior, el patrón es 1001010 y tiene una longitud de 7 caracteres, pero es claro que puede haberlos de cualquier longitud o período. Y un modo sencillo de producir más y más de estas secuencias consiste en combinarlas, de acuerdo con la regla elemental de que el acento predomina: un tiempo acentuado en alguna de las secuencias a combinar basta para que el tiempo correspondiente en la nueva secuencia lleve un acento. La única forma de que la secuencia combinada tenga un tiempo débil es que todas las secuencias lleven en ese lugar un tiempo sin acentuar. Esto puede parecer complicado si uno lo quiere hacer marcando los tiempos con las manos (como los ejercicios del libro de Hindemith, que todo buen músico suele practicar mientras viaja en transporte público); sin embargo, desde el punto de vista operacional resulta de lo más sencillo. Tomemos por ejemplo aquel tango sin “tiro del final” para combinarlo con el vals infinito; el resultado de la operación se muestra más abajo

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 …

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 …

Se obtiene, entonces:

1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 …

En otras palabras, una secuencia de período 2 y otra de período 3 producen como resultado una nueva secuencia de período 6, en el que se repite el “estribillo” 101110. Esto no es casualidad, ya que 6 es el mínimo común múltiplo entre 2 y 3… y tampoco es casualidad el resultado, si pensamos en los lugares que ocupan los unos en la secuencia final. En efecto, si pensamos que los unos y ceros indican presencia y ausencia, entonces la sucesión

1 0 1 0 1 0 1 0 …

puede verse como un subconjunto de los números naturales, en el que:

El primer elemento (0) se encuentra presente.

El segundo elemento (1) está ausente (si vale el oxímoron).

El tercer elemento (2) está.

El cuarto elemento (3) no está.

Etc.

Luego, la sucesión 10101010… puede verse como una descripción del conjunto de números pares {0, 2, 4, 6, 8, …}. De la misma forma, la sucesión 100100100100… describe el conjunto de los múltiplos de 3, vale decir {0, 3, 6, 9, 12, …}. Bajo esta óptica, ¿qué podemos decir de la combinación de ambas sucesiones? Es claro que 101110101110… representa la unión de ambos conjuntos, que corresponde a los múltiplos de 2 o de 3: {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, …}.

Llega la hora (por no decir: el tiempo) de dar el paso culminante, sustentado en el teorema fundamental de la aritmética, según el cual todo número natural mayor que 1 es múltiplo de algún número primo. Más precisamente, se escribe como producto de números primos y esta escritura es única, dejando de lado las posibles permutaciones: es la descomposición que todos aprendimos en el colegio, por ejemplo:

12 = 2 x 2 x 3

26 = 2 x 13

561 = 3 x 11 x 17

Vimos antes que el conjunto de los múltiplos de 2 se representa por una secuencia periódica (101010…), así como el conjunto de los múltiplos de 3 y, más en general, el de los múltiplos de cualquier número. Además, dijimos que combinar dos conjuntos periódicos da por resultado un conjunto periódico y lo mismo ocurre al combinar cualquier cantidad finita de conjuntos periódicos. Ahora bien, si la cantidad de primos fuera finita, entonces el conjunto de todos sus múltiplos determinaría una secuencia periódica; sin embargo, el conjunto de los números que son múltiplos de algún número primo está formado por… todos los naturales, salvo el 1. Tal conjunto se representa por medio de una secuencia atiborrada de unos, que tiene un cero únicamente en el segundo lugar:

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Esta secuencia no es periódica, lo que muestra entonces que el conjunto de números primos tiene que ser infinito. De esta forma, nuestra soledad puede dar, una vez más, rienda suelta a su alegría.