Un recorrido por el universo matemático

FONDO DE CULTURA ECONÓMICA (FCE)

México 2019

La obra de Pablo Amster explora a través de la teoría de los números, la filosofía, la literatura y la música una introducción al mundo matemático que explica de dónde vienen los números que usamos cotidianamente, cuáles son los postulados filosóficos que dieron lugar a la matemática moderna y de qué manera se ha ido construyendo esta ciencia, entre axiomas y postulados diversos a través del tiempo y de la lógica.

PRÓLOGO de Guillermo Martínez

¿Cómo contar la matemática? En Alicia en el país de las maravillas el rey aconsejaría: “Empieza por el principio, sigue hasta llegar al final y entonces para”. Pero el problema de la matemática como corpus es que el “principio” (y la manera de devanar el hilo) puede ser tanto histórico — desde los primeros palotes y piedritas, desde los ábacos chinos, desde Pitágoras y los dilemas griegos — como lógico: partir, literalmente, de cero, y obtener, en progresión rigurosa, primero los números naturales, luego los enteros, los racionales, los reales… para seguir después, en el mismo ímpetu de construcción (o más bien de reconstrucción), con las funciones, los diversos infinitos, las múltiples estructuras algebraicas, la definición de límite, y así sucesivamente hasta rencontrar uno a uno todos los conceptos matemáticos que fueron desarrollándose a lo largo de siglos.

En la primera parte de su libro Del cero al infinito, Pablo Amster elige tomar este segundo camino, la vía axiomática y lógica, con un argumento atendible. Tal como cuenta en su prefacio, quienes quieren asomarse a la matemática muchas veces desisten de inmediato porque tienen la sensación de haber llegado al cine “con la película empezada”. ¿Qué mejor entonces que convencerlos de que pueden ver y asistir al origen de todo desde la concepción?

Un segundo problema acecha a toda exposición matemática, y es el del lenguaje. Los objetos y propiedades matemáticos requieren recortarse de la manera más nítida e inequívoca, y el lenguaje habitual en que leemos y escribimos no es lo bastante sutil para el grado de precisión necesario, las distinciones delicadísimas y las cercanías infinitesimales entre concepto y concepto. Por eso la matemática ha desarrollado, también históricamente, un lenguaje propio de fórmulas, signos y convenciones que a simple vista pueden parecer a cualquier lector no iniciado un embrollo de jeroglíficos intimidantes. Aun los conceptos que parecen cercanos o intuitivos, palabras como “denso”, “creciente”, “completo”, “acotado”, requieren un esfuerzo del lector para deshacerse del significado vago del uso cotidiano y reaprenderse — reaprehenderse — en los alcances exactos que propone cada definición. Si bien los matemáticos siempre se han preocupado por asignar nombres que tengan alguna connotación intuitiva, este punto de contacto con el lenguaje habitual es solo una pequeña pista para el significado preciso, y cada definición debe aprenderse como si fuera de otro idioma. Pascal elevó este requerimiento a primera premisa del conocimiento matemático: No utilizar términos cuyo significado no se haya definido y establecido claramente con anterioridad. Pablo Amster es muy consciente de esto, de la dificultad y el desafío que conlleva escribir con la precisión necesaria, pero logra hacer pasar “sin pena” cada nuevo término mediante asociaciones inesperadas, citas literarias, ráfagas de humor y referencias que van desde el Talmud y la Biblia hasta el tango y la cultura pop. Si el lenguaje matemático se separa del mundo para ir hacia profundidades cada vez más abstractas, Amster logra una y otra vez restablecer los vínculos para volver siempre de una manera u otra al plano compartible y más cercano de las vicisitudes humanas.

Estas entreveraciones de matemática y música y de matemática y literatura se despliegan más abiertamente en la sucesión fulgurante de capítulos breves de la segunda parte. En el capítulo “Los n — 1 hombres que están solos y esperan” la excusa de la división de una torta, contada en versos de tangos, desemboca con naturalidad y maravilla, como en un pase de ilusionismo, en la suma de una serie infinita. Y en “El guerrero en su laberinto”, la tortuga de la antigua paradoja de Zenón sale de su línea para caminar primero por un plano y luego por mapas en distintas escalas, y aun por un cuento de Borges, para ilustrar el teorema de la contracción. Enseguida el libro se interna en la explicación de la hipótesis del continuo y los enunciados indemostrables, el sistema binario de numeración, el teorema de punto fijo de Brouwer, y, todavía más allá, en una exposición a la vez rigurosa y accesible de la conjetura de Riemann, el problema abierto más famoso de la matemática.

No debe extrañar que Pablo Amster, quien ha tenido una segunda vida paralela como músico y escribió incluso un libro sobre las relaciones entre matemática y música (¡Matemática, maestro!), reserve para el final el capítulo “Matemática para tus oídos”, en el que explica las sutilezas fraccionarias de las escalas y las comas pitagóricas, y comenta algunas de las obras paradigmáticas contemporáneas de música compuesta con esquemas lógicos-algebraicos, como Herma, de Iannis Xenakis, o por reglas de composición con componentes aleatorios, verdaderas máquinas de generar partituras, como Klavierstück XI, de Stockhausen.

Solo algo más diremos: los lectores de Del cero al infinito, lejos de sentir que la película “está empezada”, podrán comprobar que tienen la mejor ubicación en el cine, que el telón se abre justo cuando llegan y que la banda musical que suena es tan intrigante como variada. Estas pocas palabras son las del programa que se lee mientras descienden las luces. Que empiece entonces la función.

Guillermo Martínez

Buenos Aires, 2018

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.