El teorema de Dirichlet-Waters

En un artículo previo hemos hablado de la noción musical de compás, que nos sirvió para probar la infinitud de los números primos (ver aquí). De acuerdo con su definición más elemental, se trata de una entidad que sirve para medir los tiempos en la música; su longitud está dada por una cierta cantidad de unidades, llamadas pulsos. Una secuencia (que suponemos infinita) de tales pulsos suena más o menos así:

ta - ta - ta - ta - ta - ta - ta - ta - …

Si ahora agregamos algunos acentos, obtenemos distintos ritmos. En la música existen acentos de intensidades diferentes, pero vamos a distinguir únicamente entre tiempos acentuados y tiempos que no lo son. Por ejemplo -para emplear una palabra de moda- este es un ritmo binario, el mismo que se suele escuchar en la milonga:

tá - ta - tá - ta - tá - ta - tá - ta - …

Cabe aclarar que estamos marcando únicamente los pulsos y no las figuras rítmicas, que son las que sirven para indicar tiempos más cortos o más largos:

En nuestra simplificación, lo anterior incluye también los compases de cuatro tiempos -empleados, sin ir muy lejos, en la mayoría de los tangos- que llevan un acento algo más tenue en el tercer tiempo de cada compás. También podemos acentuar un tiempo cada tres, tal como nos enseñaron los maestros vieneses del vals:

tá - ta - ta - tá - ta - ta - tá - ta - …

Por supuesto, las posibilidades no se agotan aquí aunque, a grandes rasgos, se suele agrupar todos los demás ritmos dentro del amplio rótulo de “compases irregulares”. Esto incluye aquello que en los libros aparece bajo el título de “amalgama y zorcico” que, según decía mi profesor de música, constituyen una excelente elección para nombrar una pareja de gatos. Pero dejemos de lado el problema de la nominación felina y observemos un detalle importante: lo que a veces se escribe mediante compases de cinco tiempos (el zorcico propiamente dicho), de siete o de cualquier otro valor, en general se piensa como una combinación de ritmos binarios y ternarios. En otras palabras, en vez de acentuar uno cada cinco tiempos

tá - ta - ta - ta - ta - tá - ta - ta - ta - ta - tá - ta - ta - ta - ta - tá - ta - ta - ta - ta - …

podemos, por ejemplo, pensarlo como 2 + 3:

tá - ta - tá - ta - ta - tá - ta - tá - ta - ta - tá - ta - tá - ta - ta - tá - ta - tá - ta - ta - …

Para evitar ambigüedades, en muchas partituras esto se escribe empleando compases alternados de dos y tres tiempos, en vez de uno solo de cinco. Lo mismo ocurre con otras combinaciones: por ejemplo, la célebre Promenade de Cuadros de una exposición de Mussorgsky está escrita en compases alternados de 6 y 5 tiempos. Otro tanto ocurre con algunos clásicos del rock, como All you need is love o bien Money, de Pink Floyd, que en algunas transcripciones aparece en compás de 7/4 y en otras como la combinación de 3/4 y 4/4. Más allá de estas sutilezas, lo que importa es que los acentos se producen de acuerdo con la secuencia 2–2–3, es decir:

tá - ta - tá - ta - tá - ta - ta - tá - ta - tá - ta - tá - ta - ta - …

Resulta cómodo escribir los tiempos débiles y fuertes respectivamente, mediante ceros y unos; de esta forma, la canción se transforma en algo de esta pinta:

Esta secuencia de ceros y unos es la que permite llevar todo el asunto al campo de la aritmética y pensar estos “ritmos” como conjuntos de números naturales. ¿De qué manera? Simplemente, se trata de considerar que cada uno o cero de la sucesión indica la respectiva presencia o ausencia del número que corresponde a su lugar en la lista. De esta forma, por ejemplo, el compás binario se asocia con el conjunto de números pares:

Esta identificación empieza a explicar, por fin, el título que llevan estas líneas. Los ritmos más sencillos determinan conjuntos muy fáciles de describir: en el caso anterior, como vimos, se trata de los múltiplos de 2, mientras que al tiempo de vals le corresponde el conjunto de múltiplos de tres:

En cambio, los ritmos más complejos no se componen solamente de múltiplos de un número dado sino, más en general, de progresiones aritméticas de la forma a + kn, donde las constantes a y k son números fijos y n recorre el conjunto de todos los números naturales. Es lo que ocurre en Money,

donde el conjunto en cuestión {0, 2, 4, 7, 9, 11, 14, 16, … } contiene las progresiones

0, 7, 14, 21, … (múltiplos de 7)

2, 9, 16, 23, … (de la forma 2 + 7n)

4, 11, 18, 25, … (de la forma 4 + 7n)

Lo que sigue es conocido por -como suele decirse- “una banda” de matemáticos, pero acaso no lo sea por la de Roger Waters y sus amigos. Se trata de un bellísimo teorema probado por el alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, que justamente se refiere a las progresiones aritméticas y dice: Si a y k no tienen divisores comunes mayores que 1, entonces la progresión a + kn contiene infinitos números primos.

En el caso de Money, el teorema se aplica a la segunda y la tercera progresión, ya que 7 es primo y no tiene divisores comunes con 2 ni con 4. Nuestra lista no ha llegado tan lejos como para que hayamos visto aparecer muchos primos… pero que los hay, los hay. En la primera, además del 2 tenemos el 23; dos lugares después viene el 37. Luego los primos se ponen un poco más esquivos, aunque con algo de paciencia expectante vemos por fin llegar el que sigue:

2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65, 72, 79, 86, 93, 100, 107, …

Lo mismo ocurre con la otra progresión; a veces pueden tardar un poco más, pero Dirichlet nos garantiza que los primos seguirán apareciendo, hasta el lado oscuro de la luna y mucho más allá:

4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, 74, 81, 88, 95, 102, 109, …