LOS n — 1 HOMBRES QUE ESTÁN SOLOS Y ESPERAN

Adaptado de Del cero al infinito. Un recorrido por el universo matemático (Fondo de Cultura Económica, 2019)

Ilustración: Esteban Cánepa - Behance / Instagram

Tres amigos no han estado en contacto por muchos años, hasta que uno de ellos propone un encuentro: Yo los espero en la esquina/de Suárez y Necochea. Para celebrar el suceso, decide agasajarlos preparando una torta rectangular:

Pero (quizás por aquello de que tengo miedo del encuentro), los invitados se retrasan y el anfitrión comienza a preguntarse, con cierta angustia:

¿Dónde andarás, Pancho Alsina?/¿Dónde andarás, Balmaceda?

Cuando está a punto de concluir que hoy ninguno acude a mi cita, ya mi vida toma el desvío, llega por fin Balmaceda, poniendo la inevitable excusa del tránsito: es una caravana interminable…

Sin embargo, Pancho Alsina sigue sin aparecer. Pasan las horas y el minutero muele la pesadilla de su lento tictac, de modo que los dos amigos presentes deciden comer sus respectivas porciones de torta. A tal fin, proceden a cortarla en tres rectángulos iguales; uno para Alsina, otro para Balmaceda y el tercero para el anfitrión, que no es sino el mismísimo maestro Cadícamo:

B = C = 1/3

Tiempo después de haber engullido los pedazos B y C (y de haber limpiado cuidadosamente las migas del plato), se preguntan otra vez: ¿Dónde andarás, Pancho Alsina?

Entonces resuelven que, al fin y al cabo, el otro no tenía por qué saber cómo era el rectángulo original: tras intercambiar una rápida mirada cómplice, vuelven a partir el pedazo restante en tres partes iguales, dejando la última para ese tercer amigo que, lo más Pancho, sigue sin dar señales de vida.

B = C = 1/9

De esta forma, Balmaceda y Cadícamo han comido, cada uno, 1/3 + 1/9 de la torta, mientras que a Alsina le queda la pequeña porción indicada con la letra A, que es apenas 1/9 de la torta original. El resto es previsible: en la doliente sombra de su cuarto al esperar, B y C deciden comer otro pedazo, luego otro más y así sucesivamente.

B = C = 1/27
B = C = 1/81
… (migajas)

Se puede observar que, en el “compás de espera” correspondiente al paso N, la fracción de torta que queda para Alsina es 1 dividido por 3 elevado a la N, mientras que Balmaceda y Cadícamo han comido, cada uno, una fracción equivalente a

del total. Pero no nos detendremos aquí: supongamos ahora que los dos amigos no terminan de convencerse de que los de su amigo son pasos que quizás no volverán y continúan partiendo la torta infinitamente. La porción reservada a Alsina es cada vez más exigua y tiende a 0; al tomar el límite (si así lo permite Zenón de Elea) de estos infinitos pasos que no vuelven, el plato queda vacío. O, si se prefiere, podemos decir: Nada, nada queda de la torta inicial.

Pero, llegado este punto (una auténtica “situación límite”), ¿cuánto ha comido cada uno de los presentes? Es claro que el reparto fue siempre equitativo, de modo que tanto Balmaceda como Cadícamo han comido media torta cada uno. Esto muestra, entonces, que:

La idea puede repetirse si en vez de un trío se trata de un cuarteto, un quinteto o un conjunto de un número cualquiera de amigos, sea o no el más mentado que pudo haber caminado por esas calles del sur. Es lo mismo de antes, n — 1 de ellos esperan al demorado Alsina, quien termina quedándose literalmente sin el pan y sin la torta:

Cabe destacar el caso n = 1000001, se aplica a la situación particular del músico brasileño Roberto Carlos, aquel que quiere tener un millón de amigos y así más fuerte poder cantar. Sin embargo, esta es una aplicación meramente teórica: entre otras cosas, cuesta imaginar que los vecinos del porteño barrio de La Boca vayan a tolerar semejante batifondo en la esquina de Suárez y Necochea.

Nota (o, más bien, acorde) final: Así como muchos textos técnicos incluyen un índice temático o de los símbolos empleados, este artículo merecería incorporar un breve índice tanguero, para orientar al lector no especializado. Pero en realidad las referencias no son tantas: casi todas corresponden al tango Tres amigos, con música y letra de Enrique Cadícamo (1944), la frase “tengo miedo del encuentro” es de Volver (C. Gardel y A. Lepera, 1935). La caravana interminable, el minutero que muele, así como la doliente sombra de mi cuarto al esperar, sus pasos que quizás no volverán pertenecen al tango Soledad (C. Gardel y A. Lepera, 1934). Y, finalmente, debemos mencionar la pequeña adaptación (una suerte de licencia matemático-tanguera) del magnífico tango Nada (J. Dames y H. Sanguinetti, 1944), cuyo estribillo comienza así: Nada, nada queda en tu casa natal, solo telarañas que teje el yuyal. El título del artículo, dicho sea de paso, remite al célebre texto de Raúl Scalabrini Ortiz de 1933 que, en palabras del autor, compendia los sentimientos que he soñado y proferido durante muchos años en las redacciones, cafés y calles de Buenos Aires. La asociación no es más que casual aunque -curiosamente- el libro comienza citando otras obras del autor, entre las que confiesa la profesión de un opúsculo de matemáticas, editado en 1918.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.