Hace algún tiempo, mientras leía la magnífica novela histórica La flor azul, me encontré con este pasaje, no menos magnífico:

El álgebra, al igual que el láudano, alivia el dolor. Pero el estudio del álgebra me ha confirmado que la filosofía y las matemáticas, al igual que las matemáticas y la música, hablan el mismo idioma.

Según la autora Penélope Fitzgerald, la referencia se encuentra entre las anotaciones del poeta Novalis, personaje central del libro y de conocida afición por la matemática. Como se infiere del texto, debe haber necesitado una muy buena dosis de álgebra para afrontar la desgarradora muerte de su prometida, la joven Sophie. En el epílogo, Fitzgerald nos cuenta que, tiempo después, Novalis se casó con Julie, la hija de -precisamente- un profesor de matemáticas y, de acuerdo con sus palabras, …le esperaba una vida muy interesante. “Sin embargo, añadió, preferiría estar muerto”.

En estos tiempos de tanto dolor cabe observar que, entre las recomendaciones de los especialistas, el álgebra no suele ocupar los primeros lugares. Por eso, me pareció oportuno traer a colación un pequeño asunto matemático, como dice el tango, que me mate la tristeza, que me duerma, que me aturda… No se trata, en rigor, solo de álgebra, sino que tiene, además, un poco de análisis (matemático, claro) y otro poco de geometría.

Comencemos, como casi siempre, por Borges. En La muerte y la brújula, el detective Lönnrot logra, tras una notable secuencia que involucra sabios talmudistas, hampones y arlequines, dar con la ubicación exacta en la que se cometerá el último crimen de una serie. También adivinó, detrás de ellos, la mano de su enemigo Scharlach aunque le faltó desentrañar el nombre de la última víctima, información que le habría sido de utilidad antes de entrar a la quinta de Triste-Le-Roy. Capturado y desarmado, intenta un último recurso:

Yo sé de un laberinto griego que es una línea única, recta. En esa línea se han perdido tantos filósofos que bien puede perderse un mero detective. Scharlach, cuando en otro avatar usted me dé caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen en B, a 8 kilómetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilómetros de A y de B, a mitad de camino entre los dos. Aguárdeme después en D, a 2 kilómetros de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Máteme en D, como ahora va a matarme en Triste-le-Roy.

El cuento de Borges anticipa, ya en su primer párrafo, que Erik Lönnrot no logró evitar el último crimen; por eso, el argumento eleático puede leerse al compás de otro tango, que se hace eco a su vez de Musset: qué vanos los empeños por salvarte de la muerte. Pero, además, es inevitable sentir cierta incomodidad respecto de la posición del punto D: cuando todos los lectores esperaban un nuevo viraje hacia B, el detective opta por mantener el sentido del recorrido, acaso en un (también vano) ademán de retornar al punto A.

Como dice el escritor, matemático y amigo Guillermo Martínez, no hay motivos lógicos para preferir una continuación de la secuencia por sobre la otra, aunque la variante de los sucesivos virajes invita a una versión diferente de la aporía de Zenón a la que alude Borges. En primer lugar, como dijimos, el punto D se sitúa ahora entre B y C pero, en vez de dejarnos cazar en D, podemos continuar y ubicar:

Un punto E, a mitad de camino entre C y D,

Un punto F, a mitad de camino entre D y E,

Un punto G, a mitad de camino entre E y F,

etc.

El comienzo de esta interminable secuencia nos lleva a preguntar: ¿en qué lugar exacto debe apostarse Scharlach para, armado de infinita paciencia, dar cuenta del detective?

Di una respuesta a esta pregunta en mi libro Fragmentos de un discurso matemático, del que copié el título de este artículo. La frase, claro está, copia a su vez a Borges, aunque ahora el lugar del crimen no se indica con una D sino con la letra griega ω (omega), que en matemática denota el primer número transfinito, es decir: más allá de lo finito.

Pero ya que hablamos de “dar cuenta”, podemos calcular -con permiso de Zenón- el valor que corresponde al límite de la serie. Para fijar ideas, anotemos uno a uno los sucesivos pasos:

1 unidad hacia la derecha,

1/2 unidades hacia la izquierda,

1/4 unidades hacia la derecha,

1/8 unidades hacia la izquierda,

etc.

De esta forma, el errático proceso converge al valor dado por

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 …

Existen maneras de deducir el resultado, o por lo menos de intuirlo, sin necesidad de conocer los secretos del cálculo de límites. Por ejemplo, alcanza con echar una mirada al siguiente dibujo:

Supongamos, para empezar, que la unidad es el cuadrado completo, al cual quitamos la mitad izquierda para quedarnos con la derecha (pintada de azul). Esto corresponde a los dos primeros términos: 1–1/2. Ahora partimos la mitad izquierda en dos y repetimos el procedimiento en el cuadrado superior: al rebanar la mitad, pintamos la parte derecha y tenemos los términos siguientes: 1/4–1/8. Luego hacemos lo mismo con el cuadrado que sigue, y así sucesivamente. La (mal llamada) suma infinita corresponde a la unión de todas las regiones pintadas. Resta observar ahora que cada una de estas regiones forma parte de una sucesión de figuras encajadas en forma de L invertida, cuyo tamaño es el de tres cuadrados y la región pintada ocupa dos. Se obtiene, entonces:

1 – 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + … = 2/3.

En su momento, el resultado me sirvió para efectuar una digresión en torno a Pitágoras y la teoría de la escala musical, en la que el valor 2/3 ocupa un lugar privilegiado. Al dividir una cuerda en sus dos terceras partes, se obtiene el llamado intervalo de quinta: si la cuerda original produce por ejemplo un DO, entonces al eliminar 1/3 de ella obtenemos la quinta nota,

DO - re - mi - fa - SOL.

En definitiva, lo que decía Novalis era cierto: las matemáticas y la música, hablan el mismo idioma. La conexión brinda, además, una inmejorable pista geográfica ya anticipada desde el comienzo del cuento de Borges: el crimen se cometerá en una quinta, la de Triste Le-Roy.

Pero el propósito que nos guía ahora -parafraseando otra vez a Borges- no es sobrenatural aunque sí imposible: la trisección de un ángulo. En otras palabras, dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Cabe aclarar que, cuando hablamos de “imposible”, nos referimos al hecho de que no puede llevarse a cabo al modo de la geometría griega, empleando únicamente regla y compás. Y, por cierto, no hablamos de ciertos ángulos específicos y muy trisecables, como el de 90°, sino a aquello que solemos llamar, con total despreocupación, “un ángulo cualquiera”.

El problema de la trisección forma parte de una familia de imposibilidades célebres, honor que comparte con la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo. Este último, cabe mencionar, fue planteado en el marco de una epidemia muy anterior a actual: la célebre peste de Atenas, que tuvo entre sus víctimas nada menos que a Pericles. El oráculo de Delfos había vaticinado que la peste cesaría cuando se duplicase un altar en forma de cubo dedicado a Apolo. Felizmente, los dioses se apiadaron y la epidemia pasó, pero el problema siguió abierto hasta el siglo XIX. Y, como anticipamos, se resolvió por la negativa: un matemático llamado Wantzel demostró en 1837 que las construcciones con regla y compás involucran raíces de ecuaciones cuadráticas, mientras que la duplicación del cubo requiere poder construir la raíz cúbica de 2. La cuadratura del círculo es más delicada y la prueba de su imposibilidad tuvo que esperar hasta 1882, cuando Lindemann demostró que el número π no es raíz de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. En el caso de la trisección, la demostración es del mismo Wantzel, convertido así en un auténtico refutador de leyendas griegas: solo son trisecables aquellos ángulos de la forma 360°/n, donde n es un natural que no es múltiplo de 3. Por eso, el ángulo de 90° se puede dividir en tres partes iguales mediante regla y compás, pero no el de 60° o el de 30°.

En cambio, si se deja de lado alguna de las exigencias de la regla y el compás, existen diversas formas de dar el zarpazo trisecador. Por ejemplo, si en vez de quedarnos en la antigua tradición griega nos desplazamos hacia el oriente, encontramos una, especialmente bonita, realizada con origami. Incluso existen otras que casi parecen seguir las reglas (nunca más literal) del problema original, y sin embargo esconden alguna pequeña trampa. Una de ellas, muy interesante, se puede ver aquí.

En lo que sigue veremos un ejemplo de naturaleza algo diferente, pues viola los preceptos de la construcción en un aspecto que no hace a los instrumentos, sino a la cantidad de pasos. Una construcción, como tal, debe ser finita: si abandonamos dicha exigencia, entonces podemos reproducir las idas y vueltas de Lonnröt y ensayar un paso al límite: triséqueme en ω. Para esto, basta observar que la bisectriz es realizable con regla y compás; en consecuencia, podemos recorrer primero el ángulo original, luego volver medio ángulo hacia atrás, luego la mitad de esa mitad hacia adelante y así sucesivamente.

La primera vez que leí sobre la trisección fue en un libro de historia de la matemática, que encontré en una librería de Buenos Aires. Pero, como en la famosa anécdota en la que se origina el gran teorema de Fermat, lo más jugoso del asunto no estaba en el texto del libro sino en sus márgenes. Antes de caer en mis manos, el ejemplar había pertenecido a un matemático aficionado que garrapateó aquí y allá, sin dejar ni un espacio en blanco. Y en esa rapsodia de voces inconexas declaraba, una y otra vez, haber resuelto el problema de la trisección. Por supuesto, nunca encontré la solución anunciada, por más que leí minuciosamente los márgenes, los interiores de las tapas y las contraportadas. Sin embargo el autor, convencido de su logro, no dudó en colocar, de puño y letra, su propio nombre en el índice alfabético de autores. En otras partes del libro lo sorprendí diciendo que “Mi trisección revolucionará el cálculo de arcos…” o incluso afirmando, sin ambages: “Yo pondré de moda la geometría”. Pero el pasaje quizás más tierno y revelador es aquel en que compara el problema de la trisección con una Penélope que, a lo largo de veinte siglos, esperó la llegada de este pintoresco Odiseo rioplatense.

Con el correr de los años me hice matemático y me encontré con muchos problemas difíciles; algunos de ellos, unos pocos, me esperaron y pude resolverlos. Tal vez esa sea la esencia de esta actividad, que a veces pone en juego nuestra astucia y nos enfrenta con algún que otro cíclope. Aunque, a diferencia del poema homérico, la tarea de tejer y destejer argumentos lógicos no está a cargo de una dulce Penélope sino de los matemáticos y las matemáticas que, contra viento y marea, nos dedicamos a esto cada día de nuestras vidas con enorme pasión.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.