Para las seis supercuerdas

La música es un ejercicio de aritmética inconsciente y el que se entrega a ella ignora que maneja números. Gottfried W. Leibniz, Principios de la Naturaleza y de la Gracia fundados en la razón (1712).

Toda lectura implica una colaboración y casi una complicidad. Jorge Luis Borges, Prólogo a Para las seis cuerdas (1965).

Mucha gente se sorprende cuando se entera de que, en alguna sección de mi “biografía no autorizada”, figura el hecho de que antes de ser matemático me dediqué a la música y durante varios años di clases y unos cuantos conciertos de guitarra. En ciertos casos, hay que decirlo, me miran como pensando: “Ah, te dedicabas a algo tan lindo… ¿qué te pasó?”. Eso explica, en buena medida, mi esfuerzo por mostrar una y otra vez que la matemática, más allá de ser un suplicio para muchos que la han sufrido en el colegio, también puede considerarse “algo tan lindo” como la música. Yendo un poco más lejos, hay quienes afirman que, en el fondo, matemática y música son casi una misma cosa. Por supuesto, una afirmación tan tajante requiere del lector algo más que -como afirma Borges- una complicidad, pues de alguna manera lo fuerza a adoptar una visión del mundo que ya fue dejada de lado hace unos cuantos siglos: la doctrina pitagórica.

En el comienzo fue Pitágoras

La música y la ciencia han mantenido, a lo largo de los siglos, múltiples y muy fecundos puntos de contacto. Por tal motivo, el tema podría abordarse a partir de aspectos de lo más diversos; sin embargo, al estudiar los orígenes de estas conexiones una cosa es clara: todos los caminos conducen a Pitágoras. Por un lado, el sabio nacido en Samos fue el primero en establecer las leyes matemáticas de los intervalos; por otro lado, también se le atribuyen muchos de los usos terapéuticos de la música para curar enfermedades del cuerpo y del alma. Claro que referirnos a Pitágoras es en realidad referirnos a su escuela, cuyas enseñanzas se encuentran envueltas entre el misterio y el mito, aunque se sabe con certeza que consideraban el número como fundamento de todo. Según se afirma, gran parte de esta cosmogonía fue sustentada en el descubrimiento, atribuido al propio Pitágoras, de que los intervalos de octava, quinta y cuarta se producen a partir de las razones entre los primeros números naturales (2:1, 3:2, 4:3). Juntos, estos cuatro números componen el tetraktys, símbolo de profundo valor místico con forma de triángulo constituido por 10 (1+2+3+4) puntos que representan la totalidad.

No es de extrañar que la observación de que los intervalos más consonantes se producen a partir de fracciones elementales diera sustento a la teoría conocida como armonía de las esferas: las proporciones numéricas rigen el universo y el movimiento de los cuerpos celestes, cuyas distancias, en consecuencia, se asocian a los distintos intervalos musicales.

Estas primeras investigaciones dieron lugar a la llamada escala pitagórica, que se construye empleando únicamente los intervalos mencionados. Se trata de dividir la octava (que Pitágoras llamó diapason, término que también alude a la totalidad) en una cierta cantidad de notas, organizada en forma ascendente pero: ¿cómo elegirlas? Incluso hay una pregunta anterior, cuya respuesta a menudo incluye aspectos esotéricos aunque tiene sustento matemático: ¿por qué las notas son siete? A modo de explicación, tomemos como punto de partida las tres más importantes: la fundamental, la cuarta y la quinta. La relación entre cuarta y la quinta determina una nueva unidad que es el tono: luego, un simple cálculo muestra que para llegar de la nota inicial a la cuarta hay que recorrer dos tonos y una porción adicional (llamada semitono diatónico) y la misma distancia de dos tonos y medio existe entre la quinta y la octava. El cociente entre la quinta (3:2) y la cuarta (4:3) determina el valor numérico del tono, que corresponde a la razón 9:8; para el semitono diatónico los pitagóricos obtuvieron la razón 256:243. Cabe señalar que, a la vez, del cociente entre estos dos valores surge un nuevo semitono, llamado cromático, que desaparece en la versión moderna de la escala. Pero no nos adelantemos, pues la escala que empleamos actualmente será el resultado de siglos de intensa labor.

De la antigua escala a la ciencia del sonido

Suele decirse que los monjes medievales aprendieron la música guiados por los textos del romano Boecio, considerado en igual medida el último pensador del mundo antiguo y el primer escolástico medieval. Su obra De institutione musica, escrita a comienzos del siglo VI, introduce las consonancias según el modo pitagórico: una auténtica “ciencia del número aplicada al sonido”. Esto resulta de fundamental importancia en la concepción dominante en los siglos posteriores, para la cual el verdadero músico es el musicus, es decir, el teórico, por encima del mero cantor, que desconocía los fundamentos racionales de su arte. Este punto de vista fue determinante en el hecho de que la música fuera incluida más tarde en el denominado quadrivium (“cuatro vías”) junto a la aritmética, la astronomía y la geometría.

Sin embargo, con el desarrollo de la polifonía y las formas musicales más complejas, la antigua escala basada en la octava, la quinta y la cuarta comenzó a mostrar sus falencias. La escala pitagórica se obtiene a partir de una sucesión de quintas; por ejemplo, si la fundamental es DO, el punto de partida será la cuarta nota (FA). Un primer intervalo de quinta nos lleva al DO, luego al SOL y así sucesivamente:

FA — DO — SOL — RE — LA — MI — SI

Estas siete notas, reordenadas, dan lugar a la escala (llamada diatónica, que comprende tonos y semitonos) de DO. Pero si continuamos este proceso más allá del SI, comienzan a aparecer notas que no se encuentran en la escala original (FA#, DO#, etc) y se cierran gloriosamente al cabo de doce pasos en el llamado círculo de quintas. Solo que el resultado no es tan glorioso ni tan cerrado pues, como ya lo había comprobado Pitágoras, el punto de llegada no coincide exactamente con la nota inicial. Ambas notas suenan parecido pero, en rigor, se produce un pequeño desfase entre las quintas y las octavas, denominado coma pitagórica: aunque audible, no fue determinante en la teoría musical hasta bien avanzada la Edad Media. Con los siglos, la afinación pitagórica fue sustituida por otros sistemas que incluyeron además intervalos de tercera mayor y menor (5:4 y 6:5), así como sextas mayores y menores (5:3 y 8:5). En esta larga historia sobresalen hacia fines del siglo XV los nombres de Bartolomé Ramos De Pareja, quien aplicó el método experimental para la afinación de la vihuela o Gioseffo Zarlino, creador del sistema a veces conocido como gama de los físicos.

Cabe destacar que en nuestros días no empleamos estos sistemas sino el llamado temperamento uniforme, basado en la división de la octava en doce partes “iguales”. De esta forma, el semitono de esta escala equitemperada no corresponde a una fracción, como en las escalas mencionadas, sino al número irracional determinado por la raíz doceava de 2. La frecuencia de cada nota de la escala cromática se multiplica por este valor (cercano a 1,0595) para obtener la siguiente; al cabo de 12 pasos la frecuencia se habrá multiplicado por 2, que corresponde a la octava. En definitiva, la octava es el único intervalo natural que se preserva: un hecho objetable desde el punto de vista acústico, aunque la escala de temperamento uniforme fue finalmente adoptada en virtud de su gran practicidad.

Pero, por supuesto, esto no fue inmediato. Si bien el temperamento uniforme había sido calculado “oficialmente” en 1585 por Simon Stevin y un año antes en China por Zhu-Zaiyu, recién se convirtió en el sistema de afinación estándar a fines del siglo XVIII (cabe señalar, por ejemplo, que el clave bien temperado de Bach todavía no usaba este sistema).

El notable desarrollo de la física durante el siglo XVII tuvo consecuencias cruciales en el estudio de la música y la ciencia del sonido. Tanto Galileo (cuyo padre, Vincenzo, era músico) como Descartes estudiaron y midieron el sonido; estos conocimientos se complementaron con la descripción más profunda de la fisiología del oído. Pero quizás los descubrimientos más importantes en la física del sonido de fines de dicho siglo se deban a Joseph Sauveur, a quien se atribuye el término acústica y cuyos trabajos llegaron a oídos (por así decirlo) de otro gran compositor y teórico de la música: Jean-Phillippe Rameau. Esto supone un cambio radical en el enfoque filosófico; la música ya no forma parte de las ciencias sino al revés: todas las ciencias, según el francés, forman parte de la música. Esto se explica en su teoría del cuerpo sonoro, que engendra todas las proporciones, originadas en el sonido fundamental y sus armónicos. En esos tiempos, la matemática y la física avanzaban a pasos agigantados, de tal suerte que pronto lograron formular y resolver apropiadamente las ecuaciones que rigen el comportamiento de las ondas sonoras. Desde D’Alembert, quien resolvió el llamado problema de la cuerda vibrante, hasta la teoría de Fourier, hoy una herramienta indispensable del ingeniero en sonido, la ciencia se fue alejando de los problemas estéticos de los compositores. Esto motivó la visión no cientificista de la música, que alcanza su máxima expresión en el romanticismo. El siglo XIX fue testigo, en efecto, de un distanciamiento por parte de físicos y músicos, quienes recibieron con poco interés los trabajos de Helmholtz sobre la percepción del sonido. Trabajos, por otra parte, muy importantes: entre otras cosas, permitieron comprender el fenómeno de batimiento que se produce entre frecuencias cercanas y explica por fin las razones físicas de la llamada quinta del lobo. El nombre, un tanto escalofriante, se debe al hecho antes mencionado de que el círculo de quintas no “cierra” sino a fuerza de modificar el último intervalo. Al ejecutar esta quinta se produce el batimiento que recuerda el aullido de un lobo.

Tiempos modernos, tiempos inciertos

La idea de una armonía universal pareció abandonarse definitivamente cuando, en las primeras décadas del siglo XX, Arnold Schönberg rechazó el sistema tonal para anunciar un descubrimiento que “aseguraría la supremacía de la música alemana durante el siglo siguiente”. Se refería al dodecafonismo, cuyo principio fundamental consiste en el uso de todas las notas de la escala cromática sin imponer jerarquías entre ellas. Para ello se presenta un riguroso sistema que evita que alguna nota se destaque sobre las otras (en otras palabras, que “dé la nota”): a la secuencia original en la que aparecen todas, ordenadas de alguna forma, se le aplican movimientos de inversión y retrogradación para formar nuevas secuencias. La consecuencia inevitable de este procedimiento es que, en vez de un alejamiento de las ciencias, se produce por el contrario, un retorno a la esencia matemática de la música. Las reglas de composición de la segunda escuela de Viena (en la que, además de Schönberg, se destacaron compositores como Alban Berg y Anton Webern) se presentan en la forma de una axiomática, en la que no están ajenas las técnicas de permutación y la teoría matemática de grupos, de gran vigencia desde fines del siglo XIX. Esta postura fue llevada aún más lejos por el serialismo integral, que aplicó el principio de la serie a otros parámetros musicales como el ritmo o el timbre. El compositor ya no es solo músico sino también un matemático y un tecnólogo, especialmente a partir del surgimiento de nuevas formas de expresión ligadas a los desarrollos más recientes: música electroacústica, composición algorítmica, etc. En las últimas décadas, la investigación en estos temas pasó a formar parte de la currícula académica en diversos centros como el IRCAM (fundado por Pierre Boulez), que desarrolla una intensa actividad en la que la música se vincula con diversas disciplinas. A la par de la composición y la experiencia sonora, también se ha observado un notable auge de las neurociencias que, en este ámbito, se han interesado por investigar qué le ocurre a nuestro cerebro cuando escucha o produce música. Los resultados, en muchos casos, son interesantes y permiten relacionar el sentido musical con otros “sentidos” propiamente dichos: abundan, por ejemplo, los estudios sobre la sinestesia y la asociación de diversas imágenes sensoriales con la música. Los experimentos son de lo más variados y abarcan desde testeos de asociación de sonidos y aromas hasta verdaderos banquetes sensoriales, en donde distintos manjares o exquisitos vinos son combinados con diferentes músicas.

A todo esto cabe preguntar: ¿qué sigue? La tecnología se desarrolla de manera demasiado vertiginosa como para poder apreciar los cambios de una manera amplia y aventurar una dirección. Como quizás nunca antes, la música que se produce es difícil de asimilar por el público no especializado, que mira con recelo algunas de las innovaciones en el terreno de la composición. Pero, como es sabido, la innovación siempre genera resquemores y rechazos: cada nuevo invento en la historia de la humanidad es siempre acompañado por cohortes de detractores, que auguran su fracaso. Esto no implica, claro está, que debamos adoptar la postura opuesta y aceptar cualquier experimento musical como bueno: solo el tiempo hará su “selección natural” de aquellas obras destinadas a perdurar.

Y al final, ¿otra vez Pitágoras?

A lo largo del tiempo, música y ciencia han atravesado momentos de mayor o menor cercanía: de ser consideradas prácticamente una unidad pasaron a pensarse, especialmente en el romanticismo, como antagónicas. Finalmente, en épocas recientes se llegó a una especie de equilibrio: aunque distintas, ambas disciplinas mantienen estrecha relación y se nutren una a la otra. Nadie discute las conexiones entre ellas aunque, a la vez, tampoco se pretende que un músico esté obligado a estudiar ciencia para poder dedicarse a su arte.

Como sea, cabe reconocer que la doctrina pitagórica nunca dejó de ejercer una enorme influencia en el espíritu del hombre, que siguió durante siglos buscando manifestaciones de una armonía universal. Muchas de estas búsquedas, a menudo ridiculizadas, cautivaron las mentes de los más reconocidos sabios. Tal es el caso del astrónomo Johannes Kepler, quien intentó calcular la “música celeste” postulada por Pitágoras, pero ya no a partir de las distancias entre los cuerpos sino de las diferencias entre sus velocidades. Para esto le vino como anillo al dedo su propia teoría: específicamente, la llamada segunda ley de Kepler, que le permitió calcular los distintos intervalos: así, la razón entre las velocidades de Saturno entre su punto más cercano al sol (perihelio) y el más lejano (afelio) es 5:4, que corresponde a una tercera mayor. Júpiter produce una tercera menor, Marte una quinta, etc. Tal vez el lector se encuentre interesado en saber qué intervalo corresponde a la Tierra, para estar atento a su partitura en este coro planetario: la velocidad en el perihelio es de unos 30,75 km/h en el perihelio y 28,76 en el afelio. Esto quiere decir que el cociente aproximado es de 1,069 que, según vimos, no es muy lejano al semitono (1,0595). Más tarde aparecieron reglas diferentes, que determinan otras secuencias numéricas para los planetas y confirman la supuesta armonía. Algunas tuvieron un eco bastante considerable, como la ley de Titius-Bode, que no menciona explícitamente la música: curiosamente, fue intercalada por Titius en un libro que estaba traduciendo, de modo que solo apareció en la edición alemana. Se trata de una ley muy sencilla, que se cumple con notable precisión para los planetas que se conocían hasta ese entonces. El asunto siguió bastante bien con el descubrimiento de Urano, aunque el desafine fue completo cuando entraron en escena Neptuno y Plutón.

Sin embargo, estos pequeños fracasos no harían aflojar a los físicos y los filósofos en el esfuerzo de buscar una “armonía del mundo” (prescindiendo o no de un Demiurgo, según los gustos). Bien mirada, la búsqueda de teorías capaces de conciliar las leyes válidas para las distancias astronómicas con las del mundo subatómico no es muy diferente del ideal platónico de un principio ordenador del mundo. En los tiempos actuales, hay quienes insinúan un resurgir de la música de las esferas en la teoría de cuerdas, de carácter altamente especulativo que, por tal motivo, es rechazada por parte de la comunidad científica. En ella se postula que los elementos que constituyen el universo no son partículas puntuales sino estados vibracionales de objetos diminutos llamados cuerdas. En las distintas formulaciones de la teoría, el espacio puede tener una gran cantidad de dimensiones: por ejemplo, en el marco de las supercuerdas su número se reduce a diez, hecho que ha sido celebrado por encontrarse muy “a tono” con Pitágoras y su tetraktys. Algunas de estas cuestiones se explican en el libro de divulgación de Brian Greene, The Elegant Universe, en un capítulo titulado sugestivamente Nada más que música: los fundamentos de la teoría de supercuerdas, en el que puede leerse el siguiente párrafo:

Desde hace mucho tiempo, la música ha proporcionado las metáforas elegidas para referirse a los más desconcertantes problemas relativos al cosmos. Desde la antigua expresión pitagórica «música de las esferas» hasta las «armonías de la naturaleza» que han guiado la investigación a través de los tiempos, nos hemos dedicado colectivamente a buscar la canción que canta la naturaleza en el tranquilo deambular de los cuerpos celestes y en el alboroto de las detonaciones de las partículas subatómicas. Con el descubrimiento de la teoría de las supercuerdas, las metáforas musicales adoptan un realismo sorprendente, ya que esta teoría sugiere que el paisaje microscópico está cubierto por diminutas cuerdas cuyos modelos de vibración orquestan la evolución del cosmos. Los vientos del cambio, según la teoría de las supercuerdas, soplan en ráfagas a través de un universo eólico.

Es que la teoría de cuerdas, afirma el autor, cambia radicalmente nuestra manera de entender el espacio-tiempo. Y en este proceso la música no puede quedar afuera, porque: ¿qué es la música sino la conjugación perfecta de tiempo y espacio?

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.