¿Qué relación tiene el comportamiento de los mercados financieros y los activos riesgosos con las leyes de la termodinámica, la entropía o las teorías de Einstein?

En este artículo se exponen de manera elemental algunas de las ideas básicas del modelo matemático para la valuación de instrumentos financieros que permitió a uno de sus creadores obtener el Premio Nobel de Economía: el modelo de Black y Scholes.

  1. El que no arriesga, no gana

Muchas de las grandes ideas comienzan con un puñado de observaciones triviales. Y, dado que existe un número mucho mayor de trivialidades que de grandes ideas, no está de más describir los pasos que llevaron a la deducción de la ecuación de Black-Scholes, una de las fórmulas más celebradas en Finanzas durante las últimas tres o cuatro décadas.

Este recorrido nos llevará a hablar del concepto de riesgo, así como de las formas que los inversores han ideado para cubrirse del mismo: los derivados financieros y la teoría de portafolios.

En nuestro caso, las observaciones triviales se resumen en dos principios elementales, que podemos formular de la siguiente manera:

Principio 1

$1 hoy vale más que $1 mañana.

Principio 2

$1 seguro vale más que $1 riesgoso.

El primer principio brinda la base de lo que se entiende por “invertir’’: toda inversión debe suponer un retorno, que representa una medida relativa del incremento del capital con el tiempo. Si bien actualmente se presentan algunos casos curiosos de tasas negativas, la teoría clásica asume que esto no ocurre. El segundo principio nos dice cómo debe ser ese retorno según el riesgo que la inversión entrañe. La idea es clara; si la inversión es riesgosa, es razonable esperar que el retorno sea mayor: en cierto sentido, se trata de una compensación por el riesgo. También en este aspecto pueden darse situaciones “extrañas” (inversiones menos riesgosas con retornos mayores), pero en general se las trata como anomalías. La teoría de portafolios de Markowitz, que motivó otro premio Nobel, consiste en maximizar el retorno de una cartera compuesta por diferentes activos manteniendo constante el nivel de riesgo.

Finalmente, mencionaremos un supuesto fundamental sobre los mercados, el de no arbitraje, que intuitivamente postula que no existe una “máquina de hacer dinero’’. Pensemos en lo que ocurriría por ejemplo si una persona pudiera pedir un préstamo a una tasa del 5% anual, y a su vez prestar a una tasa del 6%: no hacen falta muchos cálculos para descubrir una estrategia que la transforme en millonaria sin correr el menor riesgo. En efecto, si pide prestada una cantidad, digamos $100, y la presta inmediatamente, al cabo de un año obtendrá una ganancia neta de $1; si repite este procedimiento se hará de grandes ganancias mientras disfruta de su pasatiempo favorito. Se asume que el mercado no ofrece tales oportunidades; aunque en realidad algunas veces eso ocurre y algunos inversores se llenan los bolsillos, dichas oportunidades no son permanentes: enseguida el mercado vuelve a equilibrarse.

2. Activos hiperactivos

Hemos hablado de riesgo, lo cual parece involucrar de alguna forma el azar. Y esto es más que una asociación casual, por no decir azarosa: los modelos que se emplean para describir el comportamiento de los mercados postulan que los precios siguen un proceso estocástico, en el cual los valores futuros no se pueden determinar con exactitud por más que se conozcan los valores en el presente.

Más específicamente, se trata en este caso del mismo tipo de proceso que rige el choque de las partículas en un fluido, que se hizo célebre a través de los trabajos de Einstein de 1905: el movimiento browniano.

Esto, que parece un contrasentido (una ley que rige un comportamiento azaroso) puede entenderse mejor si comenzamos por una versión más sencilla, denominada paseo al azar: partiendo de una posición inicial nos movemos cada vez un paso hacia la derecha o hacia la izquierda, según salgan cara o cruz las sucesivas tiradas de una moneda. Si ahora pensamos que las tiradas se producen a intervalos de tiempo más cortos y la longitud de los pasos se hace más pequeña (de acuerdo con cierta relación precisa que no analizaremos aquí) el resultado de este proceso va a presentar más o menos el siguiente aspecto:

De allí a hablar de las leyes de la termodinámica o de la entropía, hay un corto trecho: basta decir que las ecuaciones que provienen de este modelo se transforman en una fórmula clásica de la Física, conocida como ecuación del calor. Esto no parece tan desacertado en el presente contexto, al menos si pensamos en la actividad febril que se observa en algunos mercados.

Cabe destacar que las primeras publicaciones sobre estos asuntos no fueron las de Einstein, sino de un matemático francés llamado Bachelier, cuya tesis doctoral de 1900 llevó un sugestivo título: Teoría de la especulación. Sin embargo, la aplicación de procesos como el movimiento browniano a las finanzas cayó en el olvido por unas cuantas décadas, al menos hasta los años cincuenta, cuando mediante estudios estadísticos se dictaminó que los precios de los activos fluctúan en buena medida de manera azarosa. Esto puede parecer excesivo pero, en el fondo, los matemáticos no están en desacuerdo con lo que plantea Alejandro Dumas en su relato histórico Murat:

“Los resultados más importantes los producen, a veces, causas tan mínimas que se podría creer que Dios y Satanás se juegan la vida y la muerte de los hombres a los dados y abandonan al azar el auge y la caída de los imperios.”

La medida de la variabilidad instantánea de dichos precios se determina por medio de una cantidad cuyo nombre se escucha cada vez más a menudo: la volatilidad.

En un mercado de baja volatilidad, los precios tienden naturalmente a modificarse a una tasa más o menos constante; a medida que la volatilidad aumenta, tal tendencia se ve afectada por una componente riesgosa, que posibilita subas o bajas inesperadas. Esta idea permitió plantear las hipótesis de mercado eficiente, que resultaron decisivas en la fórmula dada en 1973 por Black y Scholes para la valuación de opciones y otros derivados.

3. Si de optar se trata…

Hemos mencionado los derivados, que son instrumentos financieros cuyo valor depende (se “deriva’’) del valor de otro activo, denominado subyacente. Entre ellos, uno de los más conocidos es la opción, un contrato que da derecho a su poseedor a comprar o vender cierta cantidad de unidades del activo subyacente por un precio establecido, en determinada fecha. En rigor, esto corresponde a la denominada opción europea, que solo puede ser ejercida en su fecha de expiración; en cambio, la opción americana puede ejercerse en cualquier momento hasta dicha fecha. Como es de esperar, el tratamiento matemático de esta última resulta más complejo.

Como decíamos, el poseedor tiene el derecho de ejercer la opción… siempre que le convenga: de esta forma, se protege del riesgo que implicaría comprar o vender directamente el activo.

Por ejemplo, el poseedor de una opción de compra o call por $10 sobre una acción de cierta compañía al 20 de julio de 2020, al llegar esta fecha decide si ejerce o no la opción en función de lo que valga entonces el activo. Si vale por ejemplo $11, entonces le conviene ejercer, pues la opción da el derecho a comprarla por $10; en cambio, si la acción vale $9 la opción no se ejerce y toda la pérdida se reduce al precio pagado por adquirirla. De esta forma, las opciones pueden pensarse como una manera de transferir riesgo de unos a otros. El problema es: ¿cómo se calcula el precio de un contrato así?

Aquí entra en juego el desarrollo de Black y Scholes, basado en el comportamiento de los activos esbozado en la sección anterior. Lo que se propone es una estrategia denominada hedging, que consiste en construir un portafolio libre de riesgo, vale decir, insensible a las subas o bajas del activo subyacente. La estrategia es instantánea: para mantener el portafolio se requiere en todo momento comprar o vender opciones y unidades del activo. Ahora bien, esto no significa que deba uno correr de un lado a otro del mercado comprando y vendiendo como un desaforado: la definición de este portafolio es puramente teórica, y no tiene otro fin que el de permitir deducir una fórmula “justa’’ para valuar la opción. Dicho y hecho: la construcción, sumada a la hipótesis de no arbitraje, conduce por medio de una deducción matemática a la obtención de la preciada fórmula, estrella indiscutida de las finanzas en los últimos tiempos. Hoy los operadores tienen en sus computadoras programas capaces de calcular en un momento el precio Black-Scholes de opciones con diferentes fechas y precios de ejercicio, a partir del precio que tiene el activo en el presente.

La conclusión es notable, en especial si se tiene en cuenta que hemos partido de unos pocos principios elementales y, claro está, unos paseos de lo más azarosos.

Texto adaptado de la primera parte del artículo La matemática de las finanzas, Bol. Mat.17(1), 59–76 (2010)

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.