Pitágoras encuentra a Wallis

Advertencia: este artículo contiene algunas escenas de matemática explícita, que podrían afectar la sensibilidad del lector.

En tiempos de aislamiento, la tarea de encontrar a Wally resulta prácticamente trivial, como muestra un meme reciente:

Sin embargo, no nos vamos a referir ahora al ultrafamoso personaje del dibujante Martin Handford sino a su casi homónimo, el matemático inglés John Wallis, quien en 1655 dio a conocer una fórmula sorprendente:

Más allá de su belleza, la importancia de este producto infinito radica en que se trata de una expresión exacta para el valor del número Pi. Pero, ¿qué significa eso? Hay que tener cuidado: no se trata, por ejemplo, de simplificar numeradores y denominadores a tontas y locas, atentos al hecho de que cada denominador aparece duplicado en el numerador unos pocos pasos más allá. De ser así, el resultado debería dar infinito, porque “sobran” infinitos factores 2 en el numerador:

Tampoco podemos obviar el primer denominador (que es neutro) y mover todos los otros un lugarcito a la izquierda, pues en ese caso todas las fracciones serían menores que 1:

En rigor, no es difícil probar que el resultado de este último producto es nulo, cosa que puede parecer extraña ya que ninguno de los factores lo es. Pero, justamente, los anteriores son dos claros ejemplos de lo que no se puede hacer con un producto infinito, que en realidad no es un “producto” sino un límite y, en consecuencia, tiene propiedades bastante distintas a las del producto usual. El lector puede verificar, en cambio, que multiplicando cada vez más factores en el término derecho de la igualdad original de Wallis, el resultado se aproxima, lento pero seguro, al valor correcto, por ejemplo:

La pregunta, a la luz del título de estas líneas, es la siguiente: ¿qué relación puede tener el producto de Wallis con el filósofo y matemático nacido en la isla de Samos en el siglo VI antes de Cristo?

Enigma con Pi de Pitágoras

En la novela El asesinato de Pitágoras, de Marcos Chicot, uno de los personajes lanza un curioso desafío, el de encontrar un valor aproximado precisamente de Pi. Dice el libro:

Glauco concedería su premio a quien hallara la relación o cociente entre el perímetro y el diámetro de un círculo. Se sabía que ese cociente era cercano a tres. Según algunos cálculos antiguos recogidos por Pitágoras, parecía que el primer decimal era un uno. «Pero Glauco exige una aproximación de cuatro decimales para entregar su premio.»

El premio, cabe aclarar, era cuantioso: diez veces el peso en oro del propio Glauco, quien -la novela se encarga de aclarar- era de carnes fofas y oronda figura.

Es un hecho que a la realidad, como dice Borges, le gustan las simetrías y los leves anacronismos. En la realidad de la novela de Chicot los anacronismos son unos cuantos y no tan leves: el más notable, sin duda, es la referencia al sistema decimal, unos dieciséis siglos antes de que comenzara a conocerse en el continente europeo con la traducción del célebre Fibonacci de los textos del -también célebre- matemático persa Al-Khwarizmi. El objetivo de esa y otras “licencias” es dejar que el texto fluya aunque, en este punto, no sería difícil plantear el desafío de Glauco en términos más acordes a la época. Como sea, la cuestión no debe distraernos del problema central: ¿cómo hallar una buena aproximación de Pi (o del “cociente”, como se lo llama en la novela)?

Una de las claves de la trama es que el premio de 1500 kilos (¡otro anacronismo!) de oro fue otorgado nada menos que al “malo” de la novela -cuyo nombre no revelaremos-, que aborrece a Pitágoras. Su triunfo significa una derrota para el gran sabio, mucho más profunda aún si se tiene en cuenta que la solución del problema emplea únicamente… el teorema de Pitágoras. Todo esto ocurrió mucho tiempo antes de que se acuñara la algo bravucona expresión in your face, que sin duda viene al caso: aunque el teorema era ya conocido desde la época de los babilonios (como atestiguan la tablilla de Yale o la Plimpton 322, cuyo descubridor inspiró el personaje de Indiana Jones), fue demostrado por los pitagóricos y constituía una de las mayores glorias de la escuela que el filósofo fundó en Crotona.

Más allá de los aspectos literarios, lo llamativo es que el autor, sin ser matemático, se puso en la piel del malvado personaje y logró dar con una construcción que no solo sirve para aproximar el “cociente” sino que, además, nos deja a pasos de otra identidad célebre, pariente cercana del producto de Wallis.

El punto de partida es muy simple y, al fin y al cabo, nos mantiene en la antigua Grecia: se trata de aproximar el área de un círculo de radio 1 (cuya área es Pi) por medio de polígonos, tal como haría Arquímedes pocos siglos más tarde. Pero el secreto consiste en que el número de lados de dichos polígonos va a ser siempre una potencia de 2: comenzamos inscribiendo un cuadrado; luego agregamos los puntos medios de los cuatro arcos de circunferencia obtenidos para generar un octógono, y así sucesivamente.

Como se ve, el teorema de Pitágoras proporciona una relación entre el valor del lado y la medida del segmento perpendicular que une dicho lado con el centro, llamado apotema: (L/2)² + A² = 1. Para el cuadrado, la medida del lado es la raíz cuadrada de 2, mientras que la apotema mide la mitad. Pero, a su vez, el mismo teorema permite también calcular el lado del siguiente polígono (en el dibujo, el octógono). En definitiva, si empleamos el subíndice n para referirnos al polígono cuyo número de lados es 2 elevado a la n, obtenemos las siguientes relaciones para su lado y su apotema:

De estas identidades resultan estas otras

de las cuales, inductivamente, se deduce una bonita fórmula para la apotema, que involucra las llamadas raíces anidadas:

Todavía con el ánimo algo aturdido por las cuentas, podemos decir que el objetivo se ha alcanzado, pues el área de un polígono regular de k lados se puede calcular dividiéndolo en k triángulos, cuya área es (lado * apotema)/2. Y como los polígonos se aproximan cada vez más a la circunferencia, las fórmulas anteriores permiten mostrar que, a medida que n crece, la cantidad

cada vez se acerca más (converge) al número Pi.

Por supuesto, para tener una buena aproximación hay que tener un poco de paciencia, pero por ejemplo con n = 8 (un polígono de 256 lados) se obtiene el valor 3,1415138... Nada mal, si se trata de vencer al mismísimo Pitágoras y alzarse (aunque no literalmente, claro) con el premio. Es un poco más difícil medir con precisión qué tan buena es la aproximación, es decir, acotar el error; la novela brinda una justificación un tanto oscura, pero sale del paso mediante un recurso literario siempre eficaz: El inventor del método no me demostró la razón de esto, y sigo investigando sobre ello…

Dejando ya el libro de lado, es tentador -por así decirlo- continuar los cálculos anteriores en una ráfaga breve pero intensa de nuevas igualdades. A partir del área del polígono, podemos escribir

y haciendo lo mismo unas cuantas veces (otra vez la inducción), resulta:

De esta forma se obtiene una nueva identidad, según la cual el valor de Pi es el resultado de una buena (infinita) dosis de doses:

Esta fórmula es muy famosa: fue publicada por François Viète en 1593 y se le suele adjudicar el doble mérito de haber sido, históricamente, la primera expresión exacta para Pi a la vez que el primer ejemplo de un producto infinito. A menudo se la presenta en esta otra forma, cuya equivalencia con la precedente es inmediata:

Envalentonados por el éxito del desarrollo anterior, podemos volver ahora a la pregunta inicial: ¿será posible deducir también la fórmula de Wallis a partir de la relación pitagórica? La respuesta es que sí; no vamos a abrumar a los lectores con más cuentas, pero aquellos interesados pueden encontrar una demostración aquí. En el fondo, no se trata más que de un ejercicio, pero que revela, de alguna manera, la potencia de aquel teorema que atravesó los siglos, a partir de aquellas primeras versiones grabadas en arcilla y la gloria inmortal que le otorgaría diez siglos más tarde un notable grupo de sabios reunidos en la ciudad de Crotona.