Poincaré junto a un calefón: un auténtico baño de ecuaciones

Imaginemos, con ánimo matemático, que queremos darnos una ducha. Todos tenemos nuestras preferencias personales respecto de la temperatura del agua (sobre duchas no hay nada escrito), así que entramos y accionamos el grifo en pos de alcanzar ese ideal. Podemos suponer que se trata de una única llave -el famoso monocomando- y el agua se calienta o se enfría de modo proporcional al ángulo de rotación. Eso nos brinda al menos la esperanza de que, si tenemos buena “muñeca”, la temperatura del agua se acercará cada vez más a la deseada:

La situación anterior se modela mediante una ecuación diferencial, según la cual la variación de la temperatura en cada instante t depende de la diferencia entre su valor en t y la temperatura ideal. Simplificando muchísimo (al fin y al cabo, nos encontramos bajo la ducha, sin un lápiz a mano para hacer cálculos finos) podemos pensar que la temperatura X se rige por la fórmula

X’(t) = a [IX(t)]

donde I es la temperatura ideal y a es una constante positiva. La expresión X’ indica la derivada, que se puede entender como una “tasa de cambio” instantánea de la temperatura: si en determinado valor de t es menor que la ideal, entonces el término de la derecha es positivo y X aumenta, pues queremos que el agua se ponga más calentita. En cambio, si es mayor que I movemos el grifo hacia el otro lado y la temperatura disminuye. Esto no ocurre en el dibujo anterior, que al parecer comienza en el momento en que abrimos la ducha, aunque podría ocurrir por ejemplo que nos llamen por celular antes de entrar y resolvamos atender (apagando previamente la cámara, alertados ante la posibilidad de que un hacker se apropie de una imagen tan íntima). Cuando volvemos, el agua se calentó demasiado y entonces movemos la llave para enfriarla:

Sin embargo, sabemos bien que no es esto lo que suele ocurrir cuando nos duchamos, tal como lo advirtió hace más de sesenta años el gran dibujante Calé en Buenos Aires en camiseta:

Dificultad para regular la temperatura de la ducha

Las causas de este sufrimiento son fáciles de explicar: en general, el efecto de nuestro ‘control’ sobre la mezcla (es decir, agregar agua fría si sentimos calor y viceversa) se manifiesta con cierto retardo, debido a la distancia de la llave a la regadera de la ducha. La ecuación anterior se transforma entonces en

X ’(t) = a [IX(t-r)]

donde r representa el tiempo que tarda nuestra acción en hacer efecto. Esto da lugar a oscilaciones en torno a la temperatura ideal:

Cabe advertir que si la distancia del grifo a la regadera es muy grande (por ejemplo, la ducha de un vestuario para jirafas) entonces el valor de r es mayor y puede dar lugar a oscilaciones cada vez más amplias, transformando nuestro placentero baño en un verdadero suplicio:

En definitiva, se trata de una respuesta que llega demasiado tarde, lo cual nos brinda un excelente pie para modificar ligeramente el tango homónimo: “De cada ducha que me di tengo quemaduras, quemaduras que no cierran y sangran todavía.”

Las ecuaciones diferenciales sirven para modelar distintos fenómenos: por ejemplo, el crecimiento de una población. El caso más sencillo es el que describe en Un ensayo para el crecimiento de la población el clérigo y economista Malthus (quien murió en 1834, muy a tono con este artículo, en la ciudad inglesa de Bath): si se supone una tasa b de nacimientos y una tasa d de muertes, entonces la población P aumenta en cada instante t una cantidad proporcional bP(t) y disminuye una cantidad dP(t), es decir:

P’(t) = bP(t)-dP(t)

Claro que este modelo no es muy realista y da lugar a un crecimiento exponencial de población, cosa que no ocurre ni en las mejores familias de conejos (también puede ser decrecimiento, en caso de que b sea menor que d). Otros modelos, como el de Verhulst, asumen que la población se autorregula, condicionada por cierto factor que condiciona su crecimiento: por ejemplo, la falta de algún recurso. La ecuación de Verhulst, también llamada ecuación logística, tiene aplicación también en otros contextos, como las redes sociales.

Pero, ¿qué tiene que ver la ducha con la dinámica poblacional? La idea de introducir un retardo en estos modelos tiene una interpretación bastante razonable. Tomemos por ejemplo otra vez la ecuación de Malthus: el término -dP(t) es inobjetable, ya que los individuos que mueren provocan en ese mismo instante una caída en la población -con la única excepción, quizás, del célebre señor Valdemar del cuento de Poe, suspendido durante siete meses entre la vida y la muerte-. En cambio, el término que involucra los nacimientos admite un retardo, pues los individuos que nacen tardan un tiempo en alcanzar la madurez (algunos no la alcanzan nunca, podrá pensarse, aunque cabe aclarar que por “madurez” se entiende la capacidad de reproducirse). Esto da lugar a una ecuación de la forma

P’(t) = bP(t-r)-dP(t),

de comportamiento bastante diferente al caso sin retardo. Por ejemplo, la ecuación logística se resuelve por completo; en cambio, al agregar un retardo su análisis se vuelve mucho más complicado: tanto, que una pregunta ligada a esa ecuación estuvo muchos años sin respuesta. Curiosamente, la motivación original proviene de la aritmética, específicamente de los números primos, un campo muy alejado de los modelos poblacionales (la proliferación de primos en las reuniones familiares nada tiene que ver en esto). La solución llegó -¿por qué no?- con algo de retardo: se publicó recién en 2017, más de cincuenta años después de formulado el problema. Por supuesto, existen modelos mucho más precisos que incorporan otros factores, como por ejemplo la probabilidad que un individuo no muera antes de la madurez reproductiva; las ecuaciones resultantes dependen mucho del tipo de población estudiada. También existen modelos que incluyen retardos negativos, lo que nos recuerda el texto de Woody Allen sobre una civilización en el espacio exterior, más adelantada que la nuestra en aproximadamente quince minutos, lo que le permitía a sus habitantes no llegar tarde a las citas.

Más allá de la puntualidad de los extraterrestres, un problema que interesa especialmente en modelos como los anteriores es el de encontrar órbitas periódicas, bastante frecuentes en la naturaleza que, sin tener en cuenta algunas refutaciones borgeanas, parece gustar de los ciclos. Entra entonces en escena uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el francés Henri Poincaré, quien propuso diversas técnicas para hallar tales órbitas. Entre ellas, un método que lleva su nombre y responde a una idea en realidad muy sencilla: buscar una condición inicial cuya trayectoria, al cabo de cierto intervalo de tiempo T, vuelve al punto de partida. De esta forma, la solución de la ecuación se muerde la cola para cerrarse sobre sí misma y dar lugar a la periodicidad:

Encontrar un valor inicial a partir del cual se generan trayectorias periódicas puede parecer tan difícil como buscar una aguja en un pajar; sin embargo, existen maneras de hacerlo o, cuando menos, de achicar el pajar. De lo que se trata es de encontrar un punto fijo (el valor inicial), tarea que motivó algunos de los más interesantes desarrollos de la matemática del siglo XX.

Claro que esto es tema para otro trabajo: por el momento, suficientemente empapados de ecuaciones diferenciales, podemos cerrar en este punto el grifo y envolvernos en la toalla.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.

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