Quiera el pueblo plantear paradojas

Hace algunos años, con mi amigo y colega Juan Pablo Pinasco publicamos un libro sobre la teoría de juegos (FCE México, 2014), que involucra diversas cuestiones relacionadas con la toma de decisiones. Entre ellas, existen decisiones colectivas, como las votaciones, que presentan algunos aspectos matemáticos interesantes y curiosos. Uno de ellos es la llamada paradoja del votante, que en nuestro libro presentamos de esta manera:

Los candidatos son Messi, Cristiano Ronaldo y Ribéry; la noche previa a la entrega suena el teléfono en la casa de Ronaldo y una voz (sospechosamente parecida a la de Messi) le dice: “Estás acabado. La mayoría de los jueces prefiere a Messi antes que a Ribéry, y la mayoría también prefiere a Ribéry antes que a ti”. Pero Ronaldo, gran conocedor de la teoría de juegos, se va a dormir con total tranquilidad pues sabe que las preferencias de los jueces pueden ser las siguientes:

En efecto, a “la mayoría” (dos de tres) le parece que Messi es mejor que Ribéry y también a “la mayoría” (pero otra) le parece Ribéry mejor que Ronaldo. Lo que la voz maliciosa en el teléfono omitió decir es que para casi todos los jurados también resulta Ronaldo mejor que Messi. Esto prueba, entre otras cosas, que dicha mayoría es bastante incoherente a la hora de definir sus preferencias. El esquema se ha usado en muchos contextos; por ejemplo, para explicar el resultado de las elecciones que tuvieron lugar en Argentina en 2003, en las que esencialmente se elegía entre tres candidatos.

Dejando de lado los matices futboleros, el planteo se conoce también como dilema de Condorcet, por aquel filósofo, matemático y revolucionario que lo propuso, allá por fines del siglo XVIII. Condorcet fue uno de los que propulsó el juicio por jurados, basándose en la incipiente -por esa época- teoría de las probabilidades. La cuestión, como se ve, apunta a los sistemas de votación, tema que interesó más tarde a otras plumas ilustres como la de Lewis Carroll, también matemático y autor de Alicia en el país de las maravillas.

Maravilloso o no, en este país hoy (12/9/21) se vota y, por tal motivo, no está de más repasar algunas de las paradojas que plantean las elecciones. El problema planteado por Condorcet tiene una estructura similar al juego de piedra, papel o tijera, donde cada una de las alternativas supera a otra y es superada a su vez por la tercera. Si uno estuviera en condiciones de manejar “la agenda”, entonces la estrategia sería obvia: esperar a que compitan entre sí los otros contendientes y luego medirnos, lo más campantes, con el ganador de los dos. Por ejemplo, si somos tijera, dejamos que primero el papel venza a la piedra para luego, sin el menor esfuerzo, propinarle un corte definitivo.

El dilema de Condorcet pone el dedo en la llaga respecto de las limitaciones a la hora de encontrar un sistema que refleje las preferencias de una población. A mediados del siglo XX se probó un resultado aún más drástico, el teorema de Arrow: todo sistema de votación con tres o más alternativas que siga ciertas reglas “razonables” (transitividad, unanimidad e independencia de alternativas irrelevantes) es una dictadura. La palabra puede provocar cierto escozor, especialmente en estas latitudes, pero lo que indica es que existe un individuo D (el “gran dictador”) cuyas preferencias son seguidas por la mayoría de los votantes. Como vemos, contrariamente a lo que suele decirse, sobre preferencias hay mucho escrito.

Entre otras dificultades matemáticas ligadas a estas cuestiones, cabe mencionar también un asunto muy curioso, ya no respecto de la votación en sí sino del reparto de votos (por no decir “el votín”). La pregunta es: una vez conocido el resultado de los comicios, ¿cuántas bancas le corresponden a cada partido? Es claro que la idea es respetar las proporciones, pero en general estas no van a resultar números exactos. Y, dejando de lado las suspicacias, la perspectiva de que un partido tenga cuatro diputados y un tercio no parece muy viable. Por eso existen diversos métodos, que forman parte de lo que se conoce como “matemáticas electorales”. Intuitivamente, tal vez lo primero que se nos ocurra sea lo que propuso Hamilton, colaborador de Washington allá por los primeros tiempos de la “gran democracia del norte”: primero se reparten las bancas según los valores enteros correspondientes a cada partido y luego, las sobrantes, de acuerdo a los que tienen mayor parte decimal. Por ejemplo, si un partido obtuvo el 28,7% de los votos y en total hay 100 bancas, entonces recibe 28 diputados y se anota un buen poroto para la repartija posterior, ya que 0,7 es una cuota decimal alta.

Sin embargo, pronto se vio que este sistema no es del todo justo y provoca anomalías bastante interesantes. Uno de los ejemplos más emblemáticos de estas anomalías es la llamada paradoja de Alabama, que tuvo lugar después del censo de 1880. La situación era la siguiente: si el total de escaños a repartir era de 299, a Alabama le correspondían 8; en cambio, si se elevaba dicho número a 300, le correspondían únicamente 7. En términos más gráficos (mejor dicho, más gastronómicos): si se agranda la torta, no siempre vamos a recibir una porción mayor. Un ejemplo numérico sencillo que propusimos en nuestro libro es el siguiente: supongamos que tenemos tres estados, con poblaciones de 10, 45 y 45 habitantes, y se reparte entre ellas un total de 14 bancas. En tal caso, a la primera le corresponden 1,4 bancas (el 10% de 14) , mientras que a las otras dos le corresponden 6,3 (el 45% de 14). De esta forma, se reparten 13 bancas (1+6+6) y la restante se la lleva el estado de menor población, ya que 0,4 es mayor que 0,3. Sin embargo, si ahora aumentamos el número de bancas a 15, las proporciones respectivas son 1,5 para la primera y 6,75 para las otras dos. Como antes, 1+6+6 totaliza 13 bancas pero, en este caso, hay dos sobrantes y le tocan a las poblaciones más grandes: 0,75 es mayor que 0,5. En definitiva, al aumentar de 14 a 15 el número de bancas, la población más pequeña pasa de obtener 2 bancas a recibir solo 1: esto da una prueba cabal de que, en algunos casos, los peces grandes se comen al chico. Para evitar esta clase de dificultades, se han desarrollado métodos más sofisticados, como el sistema d’Hondt, que es el que usamos en Argentina. Como sea, ningún método es infalible: en 1982 se demostró que no existe una forma de repartir escaños que se encuentre a salvo de distorsiones.

Imperfecto o no, tanto el sistema de elección como el de conteo y reparto de bancas es la mejor herramienta de la que disponemos para tomar nuestras decisiones de manera colectiva y, en definitiva, guiar nuestros destinos. Por eso, la frase que pronunció Roque Sáenz Peña hace más de un siglo sigue hoy vigente: quiera el pueblo votar…

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.