Pocas chances de ser racional

Supongamos que elegimos al azar un número entre 0 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea racional? La pregunta es simple, aunque requiere establecer de antemano ciertas pautas para que tenga sentido, especialmente en lo que respecta al hecho de elegir al azar. Sin embargo, podemos pasar por alto los detalles y pensar, de acuerdo con nuestra intuición más ingenua, que consiste simplemente en tomar un elemento de ese continuum de números que va del 0 hasta el 1 como si se tratase de extraer un caramelo de una bolsa, sin que ninguno de ellos tenga mayor chance que otro de ser elegido. Pero en ese conjunto hay caramelos -perdón: números- que son racionales y otros que no lo son. ¿Que probabilidad existe, entonces, de que nuestra elección azarosa nos depare la inmensa alegría de obtener uno de los primeros?

Cabe recordar que los números racionales son aquellos que corresponden a fracciones (razones) de números enteros, como pueden serlo 1/2, 5/7 o -31/8. A grandes rasgos, son los que empleamos en nuestra vida cotidiana, a menos que nuestra cotidianeidad consista -pongamos por caso- en dedicarnos a la matemática. Como sea, lo cierto es que al salir de paseo o de compras empleamos mayormente números naturales (1, 2, 3, 4,…), que son racionales, o fracciones (3/4 kg. de tomates). Incluso para algunas operaciones más complejas, como calcular la superficie de la mesa circular del jardín para saber cuánta pintura necesitamos, no recurrimos al auténtico e irracional π sino a una aproximación como 3,14, que es un número racional. En otras palabras: empleamos los racionales para casi todas nuestras actividades, aun las que involucran cantidades que no lo son. Esto se explica fácilmente, ya que los irracionales ni siquiera se pueden escribir: en el sistema decimal, su desarrollo es no periódico, por ejemplo

π = 3,14159265358979328…

En definitiva, los números irracionales parecen más raros, al menos en el sentido de que, parafraseando a Alfred N. Whitehead, uno no sale a la calle a comprar π pescados. Por eso, quizás llame la atención el hecho de que los verdaderamente “raros” son los racionales, a tal punto que si elegimos un número al azar entre 0 y 1, la probabilidad de que sea racional es (como le gustaba decir a Borges) computable en cero. Por supuesto, esto no significa que no haya una infinidad de racionales sino que, en comparación con los otros, se encuentran en franca, abrumadora minoría.

Para entender esto, veamos en primer lugar que los racionales, aunque infinitos, se pueden numerar, lo que equivale a decir que se puede formar con todos ellos una sucesión. Una manera sencilla de hacer esto proviene de pensar que es posible escribir cada uno de ellos por medio de la combinación finita de doce caracteres: los diez dígitos, el signo - y el signo /, para denotar la fracción. Entonces podemos apelar a una suerte de orden alfabético, teniendo en cuenta además la longitud; así, colocamos en primer lugar las únicas doce secuencias de un solo carácter

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -, /

Luego vienen las de dos caracteres, que comienzan por

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 0-, 0/, 10, 11, …

hasta llegar a las últimas:

…, /8, /9, /-, //

Llega el turno entonces de las secuencias de tres caracteres

000, 001, 002, …, //9, //-, ///

luego las de cuatro, y así sucesivamente. De esta extraña lista hay que eliminar todas aquellas secuencias que no definen un número racional (por ejemplo /3-), así como las que corresponden a números que ya habían aparecido (por ejemplo 1/1, que es igual a 1). Como sea, vemos que, con infinita paciencia, es posible listar uno a uno todos los números racionales, sin saltear ninguno.

Volvamos ahora a la pregunta inicial: ¿qué probabilidad hay de que un número entre 0 y 1 elegido al azar se encuentre entre los racionales? De la lista anterior, podemos ya quedarnos únicamente con la secuencia (también infinita) de las fracciones entre 0 y 1; de acuerdo con el ordenamiento antes propuesto, quedaría algo así:

1/2, 1/3, 1/4,…, 1/9, 2/3, 2/5, …, 2/9, 3/4, …

Ahora podemos definir una familia de conjuntos de la siguiente manera:

El primer conjunto, C1 está compuesto por todos los números cuyo primer decimal coincide con el primer decimal de 1/2, es decir, números de la pinta

0,5…

El segundo conjunto C2 está compuesto por todos los números cuyos primeros dos decimales coinciden con los de 1/3, es decir:

0,33…

El tercer conjunto C3 está compuesto por todos los números cuyos primeros tres decimales coinciden con los de 1/4. Se puede objetar que 1/4 =0,25 no tiene tres decimales, pero siempre queda el recurso de agregar ceros al final (el famoso “cero a la derecha”): 0,25=0,250. De esta forma, los elementos de C3 van a tener el siguiente aspecto:

0,250…

A esta altura la regla se hace clara: para formar el conjunto CN vamos a tomar todos los números cuyos primeros N decimales coinciden con los del número que aparece en el lugar N de la secuencia de racionales.

Ahora bien, ¿cuál es la probabilidad de que un número elegido al azar caiga en C1? Claramente, la primera cifra decimal (5) está fija y lo que sigue puede ser cualquier cosa: tenemos entonces que uno de cada diez números pertenecen a C1. De la misma forma, para que un número pertenezca a C2, sus primeros dos decimales tienen que coincidir con 33, eso ocurre con uno de cada cien números. La probabilidad de que un número pertenezca al conjunto C3 es 1/1000, para C4 es 1/10000 y así sucesivamente. Pero, además, cada uno de los racionales pertenece (de manera no excluyente) a alguno de los CN, pues

El primero pertenece a C1.

El segundo pertenece a C2.

El tercero pertenece a C3.

etcétera.

Esto dice que la probabilidad de que un número elegido al azar sea racional tiene que ser menor o igual que la probabilidad de que pertenezca a la unión de todos los conjuntos CN, a su vez menor o igual que

1/10 + 1/100 + 1/1000 + …

Llegado este punto, los lectores de Borges tal vez recuerden haber visto una expresión muy parecida en La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga:

Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da una ventaja de diez metros. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles Piesligeros el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro y así infinitamente, sin alcanzarla… […] El problema no cambia, como se ve; pero me gustaría conocer el nombre del poeta que lo dotó de un héroe y de una tortuga. A esos competidores mágicos y a la serie

10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1.000 + 1/10.000 + …

debe el argumento su difusión.

Pero dejando de lado a héroes y tortugas, el resultado exacto (llamado límite) es fácil de imaginar si escribimos todas las cantidades encolumnadas y luego sumamos verticalmente cada una de las infinitas columnas, cada una de ellas compuesta por infinitos ceros y un solitario 1:

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

0,11111…

En definitiva, la probabilidad de que un número sea racional es menor o igual que 0,1111…, es decir, 1/9. Dicho de otra forma, de cada 9 números entre 0 y 1, a lo sumo uno es racional: como primera aproximación, no está mal.

Pero no nos detendremos aquí; en efecto, nada nos impide ahora formar los conjuntos CN con un grado mayor de precisión, por ejemplo arrancando a partir de dos decimales:

C1: conjunto cuyos primeros dos decimales coinciden con los de 1/2.

C2: conjunto cuyos primeros tres decimales coinciden con los de 1/3.

C3: conjunto cuyos primeros cuatro decimales coinciden con los de 1/4.

etcétera.

En este caso, el mismo razonamiento de antes nos muestra que la probabilidad de que un número elegido al azar sea racional es menor que 0,01111…, vale decir, 1/90. Y, repitiendo una y otra vez la misma idea, dicha probabilidad resulta menor que 1/900, 1/9000… para concluir, lisa y llanamente, que es (exactamente) igual a cero. Es lo que la teoría de probabilidades llama un suceso casi imposible: podría llegar a ocurrir, pero su probabilidad de ocurrencia es nula. Es lo opuesto a un suceso casi seguro, cuya probabilidad es 1: en este contexto, si elegimos un número al azar es casi seguro que será irracional. Aunque a casi seguro, como es sabido, se lo llevaron casi preso, pero esa es otra historia.

La demostración anterior se puede repetir para cualquier conjunto numerable, que es como se llama a los conjuntos que se pueden escribir como una sucesión. En otras palabras, los conjuntos numerables son exiguos, en lo que a su medida respecta, en comparación con el copioso conjunto de números reales. En particular, el propio conjunto de los números reales no puede ser numerable.

A modo de confesión final, es oportuno mencionar que también la adjetivación es “copiosa”: sin ir muy lejos, me la copié de Borges. Se trata, esta vez, de La doctrina de los ciclos, donde explica con “precisión y rigurosa lógica” el concepto de infinito:

La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.

Matemático, profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigador de CONICET. Autor de diversos libros de divulgación.